اعداد پنج رقمی (مرحله اول بیست و هفتمین المپیاد ریاضی- ویراسته):

چند عدد پنج رقمی با ارقام {1،2،3،4،5} وجود دارد که ارقام آن متمایز باشد و مجموع رقم اول و رقم پنجم با مجموع رقم دوم و رقم چهارم برابر باشد؟

الف) 8   ب) 12   ج) 16   د) 24   ه) 36

پاسخ: د) 24

فرض می کنیم که عدد ما به صورت abcde است.

جزئیات: a+e=b+d

به هشت صورت می توان این رابطه را نوشت:

        ·            a+e=b+d --> aecbd

        ·            a+e=d+b --> aecdb

        ·            e+a=b+d --> eacbd

        ·            e+a=d+b --> eacdb

        ·            b+d=a+e --> bdcae

        ·            b+d=e+a --> bdcea

        ·            d+b=a+e --> dbcae

        ·            d+b=e+a --> dbcea

نتیجه می گیریم که در عدد abcde هر رابطه a+e=b+d ، ما 8 عدد پنج رقمی با اعداد متمایز دارد.

در اعداد {1،2،3،4،5} رابطه (abcde) --> (a+e=b+d) را به سه صورت داریم:

        ·            4+2=5+1

        ·            3+2=4+1

        ·            4+3=5+2

برای هر رابطه 8 عدد داریم؛ پس در کل 24 عدد به این صورت داریم.